Здравейте приятели,

Вече има търсачки и интернет такива и аз съм много доволен, защото мога да намеря решение на много мои проблеми. Тези дни с тези мои способности блеснах в очите на една моя приятелка. Тя ме беше помолила да и намеря G-точката и аз няколко дни се мъчих с това, но накрая успях.

Малко предистория.. девойката сега ще кандидаства в университет с математика. Веднъж се бяхме заиграли с нея. Тя решаваше задачки, а аз решавах как да реша нея. В крайна сметка тя ми постави една задачка, която да реша и да спра да решавам как да реша нея.

Ето и условието на задачата:

Върху страната AC на ▲ABC е фиксирана точка M. Да се намери точка G от страната BC, за която разстоянието й до M да е равно на сумата от разстоянията на точките М и G до AB.

 

На пръв поглед това ми изглеждаше невъзможно, но след много ровене в интернет и търсене на възможни решения, а и да си призная, че трябваше да си припомням доста от формулите по математика.. та най-накрая стигнах до решение.

Ще представя един прост чертеж на самото търсене:

 

Ето го и самото решение:

Началната ситуация е черният чертеж на първата фигура. Тъй като MG трябва да е сумата от разстоянията, то описвайки окръжност, по показания начин се получава, че търсим такава точка G, която е равно отдалечена от AB и окръжността. Какво е множеството от точки, удовлетворяващо това условие?
Ще покажем, че търсеното множество е парабола. Наистина, построявяме права, успоредна на AB, на разстояние, колкото е радиуса на окръжността и намираща се в другата полуравнина - т.е. както е показана хоризонталната синя права на чертажа. Ясно е, че сега множеството от точки - за което говорим в предишния абзац - е точките, равноодалечени от синята права и точка M. Това множество е парабола, според фокалното свойство на.
Търсим точка, която е пресечна на парабола и права. За съжаление, все още нямаме инструмент с помощта на който да чертаем параболи. За щастие имаме едно доста добро действие - инверсия. Инверсията е квадратно преобразувание и затова ще преведе кривата парабола в някоя друга крива, но също квадратна. Такива фигури са хиперболата, елипсата и естествено параболата. Ако се окаже, че при инверсията получената фигура "не отива към безкрайност", то единствения вариант е елипса! Това лесно може да се постигне, като изберем полюсът на елипсата да не принадлежи на параболата!
След като при инверсията преобразуваме параболата в елипса, то да видим в какво ще се преобразува правата BC, която е другото множество на което трябва да принадлежи G. Ако тази права не минава през центърна на инверсията, то тя ще се преобразува в окръжност през ценъра на инверсията. Така ще трябва да намерим пресечна точка на елипса и окръжност - твърде гадна задача. Ако правата BC, обаче минава през центъра на инверсията, то тогава ще трябва да пресечем елипса с права. И така избираме като център на инверсията пречната точка на вертикалната права през точка M и продължението на правата BC. Окръжността на инверсията избираме, така че да се допира до AB. Всички тези построения са означени с оранжево на чертежа. При инверсията параболата ще отиде, примерно в червената елипса.

Ще покажем, че намирането на пресечната точка на права и елипса е напълно решима построителна задача. Преминаваме на фигура 2. Имаме права AB, която е едната ос на елипсата (в нашата задача вертикалната оранжева отсечка играе тази роля), имаме права AD и още една точка C принадлежаща на елипсата (в нашия случай трябва да построим точка от параболата (напирмер сечение на права успоредна на AB на разстояние x и окръжност с център M и радиус r+x - r е радиуса на показаната черна окръжност на фигура 1) и да й приложим инверсия). И така, трябва да извършим пропорционално разтегляне на равнината по оста y. За целта построяваме окръжност с диаметър AB - именно в нея искаме да се изобрази елипсата, след разтягането. През C прекарваме вертикална права, която пресича окръжността в точка 2 - това ще е образа на C. Правата CD пресича правата AB в точка 3. Пред D прекарваме вертикална права. Тази права и правата 23 се пресичат в точка 4. Именно правата A4 е образът при разтягането на правата AD. Пресечната точка T на A4 и синята окръжност е точката образ на точка S, която е пресечната точка на елипсата и началната права AD. Тъй като вече построихме T, то трябва да намерим образа й при обратното на разтягането изображение. То се извършва по абсолютно същия начин.

 

Ами това са основните ми насоки при намирането на точката G. Не се оказа лесно намирането й, но пък търсенето е сладко и приятно. Не се притеснявайте да използвате метода “проба-грешка” при търсенето. Само така вероятността да достигнете най-близо до решението е най-голяма.

 

Поздрави от мен и пожелание за успешна нова работна седмица,

Бо.

 

казвала съм го и преди - имаш невероятно чувство за хумор!!!
Все пак нейната точка G успя ли да откриеш№

това е образователен блог с широка аудитория. Нека не коментираме толкова лични неща :)

свалям ти пант... пардон.. свалям ти шапка за комплимента!

deya, и аз обичам да нося шапки!

Нали знаеш, че си хахо? :РРРР
П.П. Радвам се, че не ми се налага да търся толкова често тези точки, защото се загубих и вече не мога да намеря даже дистанционното :)

Знам пакостинке... днес съм хахо с махмурлук дори. :)
Ако и друг път имаше проблеми с търсенете, просто свиркай ;)

А така,на пияна глава се случват големите открития :):):)махморлукът е задължително и необходимо... последствие :)

красив ум!... :-))))

напомня малко за кандидат-гимназисткия ми изпит в НПМГ.... там някакви симетрали.... така и не стигнах до търсенето на ге точките.....

reshenieto e mn dobro, pak az si misleh kakvo li shte napishesh :)

Следващата задачка, която ще ти постави, сигурно ще е да намериш дължината на EB :) Успех, Бо :)